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考研专业课/4.计算机组成原理/6.总线/README.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# 总线
+
+![总线](6.总线.png)
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考研专业课/4.计算机组成原理/7.输入输出系统/README.md

@@ -0,0 +1,6 @@
+# 输入输出系统
+
+![输入输出系统](7.输入输出系统.png)
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考研数学/7.二重积分/1.基本性质/README.md

@@ -35,3 +35,23 @@ $$
 
 ## 经典例题
 
+$$
+如：设 D_t = \{(x , y|2{x ^ 2} + 3{y ^ 2} \le 6t)\} (t \ge 0) ， f(x , y) =
+\begin{cases}
+\frac{\sqrt[3]{1 - (x ^ 2 + y ^ 2)} - 1}{e ^ {x ^ 2 + y ^ 2}} ， (x , y) \neq (0 , 0) ，
+\\
+a ， (x , y) = (0 , 0) ，
+\end{cases}
+为连续函数，令 F(t) = \iint_{D_t}{f(x , y)}dxdy ，求 F_{+} ^ {\prime} (0) .
+\\
+\because f(x , y) 为连续函数，
+\\
+\therefore \lim_{(x , y) \to (0 , 0)} f(x , y) = \lim_{(x , y) \to (0 , 0)} \frac{\sqrt[3]{1 - (x ^ 2 + y ^ 2)} - 1}{e ^ {x ^ 2 + y ^ 2}} = \lim_{(x , y) \to (0 , 0)} \frac{-\frac{1}{3}(x ^ 2 + y ^ 2)}{x ^ 2 + y ^ 2} = -\frac{1}{3} = a ，
+\\
+\therefore F_{+} ^ {\prime} (0) = \lim_{t \to 0} \frac{F(t) - F(0)}{t - 0} = \lim_{t \to 0} \frac{F(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\iint_{D_t}{f(x , y)}dxdy}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{6}\pi{t}f(\xi , \eta)}{t} ， 其中 (\xi , \eta) \in D_t ，
+\\
+\therefore \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{6}\pi{t}f(\xi , \eta)}{t} = -\frac{1}{3}\sqrt{6}\pi .
+$$
+
+
+

考研数学/7.二重积分/2.普通对称性与轮换对称性/README.md

@@ -0,0 +1,82 @@
+# 普通对称性与轮换对称性
+
+* [普通对称性](#普通对称性)
+* [轮换对称性](#轮换对称性)
+* [经典例题](#经典例题)
+
+## 普通对称性
+
+$$
+若 D 关于 y 轴对称，则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma =
+\begin{cases}
+2\iint_{D_1}{f(x , y)}d\sigma ， f(x , y) = f(-x , y) ，
+\\
+0 ， f(x , y) = -f(-x , y) .
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+若 D 关于 x = a (a \neq 0) 对称，则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma =
+\begin{cases}
+2\iint_{D_1}{f(x , y)}d\sigma ， f(x , y) = f(2a - x , y) ，
+\\
+0 ， f(x , y) = -f(2a - x , y) .
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+若 D 关于 x 轴对称，则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma =
+\begin{cases}
+2\iint_{D_1}{f(x , y)}d\sigma ， f(x , y) = f(x , -y) ，
+\\
+0 ， f(x , y) = -f(x , -y) .
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+若 D 关于 y = a (a \neq 0) 对称，则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma =
+\begin{cases}
+2\iint_{D_1}{f(x , y)}d\sigma ， f(x , y) = f(x , 2a - y) ，
+\\
+0 ， f(x , y) = -f(x , 2a - y) .
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+若 D 关于原点对称，则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma =
+\begin{cases}
+2\iint_{D_1}{f(x , y)}d\sigma ， f(x , y) = f(-x , -y) ，
+\\
+0 ， f(x , y) = -f(-x , -y) .
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+若 D 关于 y = x 对称，则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma =
+\begin{cases}
+2\iint_{D_1}{f(x , y)}d\sigma ， f(x , y) = f(y , x) ，
+\\
+0 ， f(x , y) = -f(y , x) .
+\end{cases}
+$$
+
+## 轮换对称性
+
+$$
+在直角坐标系下，若把 x 和 y 对调后，区域 D 不变（或区域 D 关于 y = x 对称），则 \iint_D{f(x , y)}d\sigma = \iint_D{f(y , x)}d\sigma .
+\\
+若 f(x , y) + f(y , x) = a ，则 I = \frac{1}{2}\iint_D{[f(x , y) + f(y , x)]}dxdy = \frac{1}{2}\iint_D{a}dxdy = \frac{a}{2}S_D .
+$$
+
+## 经典例题
+
+$$
+如：设 f(x) = \iint_{D(x)}{\frac{v\ln{\sqrt{u ^ 2 + v ^ 2}}}{u + v}}dudv ， D(x) = \{(u , v)|\frac{1}{4} \le u ^ 2 + v ^ 2 \le x ^ 2 ， u \gt 0 ， v \gt 0\} ，求 f(x) .
+\\
+由轮换对称性可得， f(x) = \iint_{D(x)}{\frac{v\ln{\sqrt{u ^ 2 + v ^ 2}}}{u + v}}dudv = \iint_{D(x)}{\frac{u\ln{\sqrt{u ^ 2 + v ^ 2}}}{u + v}}dudv = \frac{1}{2}\iint_{D(x)}{\ln{\sqrt{u ^ 2 + v ^ 2}}}dudv ，
+\\
+\therefore f(x) = \frac{1}{4}\iint_{D(x)}{\ln{(u ^ 2 + v ^ 2)}}dudv .
+$$
+
+
+

考研数学/7.二重积分/3.二重积分计算/README.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+# 二重积分计算
+
+* [直角坐标系下计算](#直角坐标系下计算)
+* [极坐标系下计算](#极坐标系下计算)
+* [经典例题](#经典例题)
+
+## 直角坐标系下计算
+
+$$
+\
+\
+\iint_D{f(x , y)}d\sigma = \int_{a} ^ {b}{dx}\int_{\phi_1(x)} ^ {\phi_2(x)}{f(x , y)}dy ，其中 D 为 X 型区域： \phi_1(x) \le y \le \phi_2(x) ， a \le x \le b .
+$$
+
+$$
+\
+\
+\iint_D{f(x , y)}d\sigma = \int_{c} ^ {d}{dy}\int_{\psi_1(y)} ^ {\psi_2(y)}{f(x , y)}dx ，其中 D 为 Y 型区域： \psi_1(y) \le y \le \psi_2(y) ， c \le x \le d .
+$$
+
+## 极坐标系下计算
+
+$$
+\iint_D{f(x , y)}d\sigma = \int_{\alpha} ^ {\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)} ^ {r_2(\theta)}{f(r\cos{\theta} , r\sin{\theta})}rdr （极点 O 在区域 D 外部） .
+\\
+\iint_D{f(x , y)}d\sigma = \int_{\alpha} ^ {\beta}d\theta\int_{0} ^ {r(\theta)}{f(r\cos{\theta} , r\sin{\theta})}rdr （极点 O 在区域 D 边界上） .
+\\
+\iint_D{f(x , y)}d\sigma = \int_{0} ^ {2\pi}d\theta\int_{0} ^ {r(\theta)}{f(r\cos{\theta} , r\sin{\theta})}rdr （极点 O 在区域 D 内部） .
+$$
+
+## 经典例题
+
+$$
+如：当 x \to 0 ^ {+} 时， f(x) = \int_{0} ^ {x ^ 2}{dy}\int_{x} ^ {\sqrt{y}}{\sin{\frac{y}{t}}}dt 与 g(x) = a{x ^ b} 是等价无穷小量，求 ab .
+\\
+\because \int_{0} ^ {x ^ 2}{dy}\int_{x} ^ {\sqrt{y}}{\sin{\frac{y}{t}}}dt = -\int_{0} ^ {x ^ 2}{dy}\int_{\sqrt{y}} ^ {x}{\sin{\frac{y}{t}}}dt = -\int_{0} ^ {x}{dt}\int_{0} ^ {t ^ 2}{\sin{\frac{y}{t}}}dy = \int_{0} ^ {x}{t \cdot \cos{\frac{y}{t}}|_{y = 0} ^ {y = t ^ 2}}dt = \int_{0} ^ {x}{t \cdot (\cos{t} - 1)}dt ，
+\\
+\because f(x) 与 g(x) 是等价无穷小量 ，
+\\
+\therefore \lim_{x \to 0 ^ {+}} \frac{\int_{0} ^ {x}{t \cdot (\cos{t} - 1)}dt}{a{x ^ b}} = \lim_{x \to 0 ^ {+}} \frac{x \cdot (\cos{x} - 1)}{ab{x ^ {b - 1}}} = \lim_{x \to 0 ^ {+}} \frac{-\frac{1}{2}x ^ 3}{ab{x ^ {b - 1}}} = 1 ，
+\\
+\therefore ab = -\frac{1}{2} .
+$$
+
+$$
+如：设区域 D = \{(x , y)|x ^ 2 + y ^ 2 \le \sqrt{2}\} ，求 \iint_D{(x ^ 2 + \frac{y ^ 2}{2})}dxdy .
+\\
+由轮换对称性可得， I = \frac{1}{2}[\iint_D{(x ^ 2 + \frac{y ^ 2}{2})}dxdy + \iint_D{(y ^ 2 + \frac{x ^ 2}{2})}dxdy] = \frac{3}{4}\iint_D{(x ^ 2 + y ^ 2)}dxdy ，
+\\
+\therefore \frac{3}{4}\iint_D{(x ^ 2 + y ^ 2)}dxdy = \frac{3}{4}\int_{0} ^ {2\pi}d\theta\int_{0} ^ {\sqrt[4]{2}}{r ^ 3}dr = \frac{3}{4}\pi .
+$$
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