正切妙用

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简介

此处仅讨论锐角三角比, 不涉及零角、直角等其他角度的三角比.
本技巧性内容适用于填空题快速运算, 不得直接用于解答题书面书写.
所有结论均可以使用三角函数差角公式进行严谨地证明.

三角函数差角公式

$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan(\alpha)\pm tan(\beta)}{1\mp tan(\alpha)tan(\beta)}$

技巧实例

1. $45\degree$和差
   1. 如图$\angle AOB=45\degree$, $OP$为$\angle AOB$内部射线, 记$\angle AOP=\alpha$, $\angle BOP=\beta$,
      则$tan(\alpha)$与$tan(\beta)$的关系可表示为$\begin{cases}\tan(\alpha)=\frac{n-1}{n+1}\tan(\beta)=\frac{1}{n}\end{cases}$
      特殊地:
      $n=2$时$\begin{cases}\tan(\alpha)=\frac{1}{3}\tan(\beta)=\frac{1}{2}\end{cases}$,
      $n=4$时$\begin{cases}\tan(\alpha)=\frac{3}{5}\tan(\beta)=\frac{1}{4}\end{cases}$,
      $n=5$时$\begin{cases}\tan(\alpha)=\frac{2}{3}\tan(\beta)=\frac{1}{5}\end{cases}$, $n=7$时$\begin{cases}\tan(\alpha)=\frac{3}{4}\tan(\beta)=\frac{1}{7}\end{cases}$.
   2. 如图$\angle AOB=45\degree$, $OP$为$\angle AOB$外部射线, 但满足$\angle AOP<90\degree$, 记$\angle AOP=\alpha$, $\angle BOP=\beta$,
      则$tan(\alpha)$与$tan(\beta)$的关系可表示为$\begin{cases}\tan(\alpha)=\frac{n+1}{n-1}\tan(\beta)=\frac{1}{n}\end{cases}$

总结

注: 为方便表述, 使用$arctan(x)$函数, 该函数为正切函数$tan(x)$的反函数, 如$arctan(1)=45\degree$, $arctan(\frac{\sqrt3}{3})=30\degree$等

1. $arctan(\frac{n-1}{n+1})+arctan(\frac{1}{n})=45\degree$, $n&gt;1$
2. $arctan(\frac{n+1}{n-1})-arctan(\frac{1}{n})=45\degree$, $n&gt;1$