21-yuyu0830

[yuyu0830]

🔗 문제 링크

1의 개수 세기

플래티넘 가버렷!

✔️ 소요된 시간

2시간

✨ 수도 코드

❓ 문제

자연수 A, B가 주어진다. 이 때 함수 f(x)를 2진수 x의 1의 개수라고 했을 때, A부터 B까지의 이르는 모든 자연수의 f(x)의 합을 구하자.

조건

• (1 ≤ A ≤ B ≤ 10^16)

---

❗ 풀이

노트에 각 자연수마다 0 ~ n 까지의 1의 개수를 빼곡하게 적어서 봤는데 딱히 연관성을 찾지 못했다.. 있긴 했는데 생각보다 접근이 어려웠다.

풀이는 2개의 스텝으로 나눌 수 있다.

1️⃣ 첫번째 단계

2진수로 봤을 때 각 자리수 별로 나올 수 있는 1의 개수는 아래와 같다.

여기서 조금 살펴보면 다음과 같은 특징이 있다.

(2 ^ n) - 1 까지의 경우의 수는 2 ^ (n - 1) - 1 까지의 경우의 수가 한번 반복된다. 여기에 맨 앞자리 1이 하나 더 붙기 때문에 n의 자리 2진수의 개수 만큼 1이 더 생긴다.

즉 (2 ^ n) - 1 인 2진수의 1의 개수 아래의 요소들의 합이 된다.

• 1부터 2 ^ (n - 1) - 1 까지의 2진수의 1의 개수 (1 ~ 2 ^ (n - 1) - 1)
• 2 ^ (n - 1) 부터 2 ^ n - 1 까지의 2진수의 1의 개수
• 2 ^ n 의 1의 개수 (항상 1개)

그래서 2의 n제곱인 2진수의 1의 개수는 n - 1번째 자리수 2진수의 1의 개수 * 2 와 해당 경우의 수의 개수, 즉 2^(n - 1)의 합 이라는 것을 알 수 있었다.

이를 통해 미리 각 자리수 별 1의 개수를 미리 구해 저장해두자

// ll : long long int
ll arr[10000] = {0, };
ll a, b, tmp = 1; cin >> a >> b;
int cnt = 1;

// b까지 arr 배열 누적합 연산
while (b > tmp) {
    arr[cnt] = (arr[cnt - 1] * 2) + tmp;
    tmp *= 2; cnt++;
}

2️⃣ 두번째 단계

이제 2의 n제곱은 알았는데 중간에 있는 1들은 어떻게 처리할까?

위와 비슷한 원리인데
10100 의 경우 1부터 1111 까지의 1의 개수 + 10000 ~ 10100 까지의 1의 개수로 나눌 수 있다. 10000 ~ 10100 의 개수는 1 ~ 100 까지의 1의 개수에 1 ~ 100 까지의 2진수의 개수만큼 더하면 된다.

10100 의 경우에는 선행한 1이 최대 1개기 때문에 1~100 까지의 1의 개수 + (n자리 2진수의 개수 * 1) 만큼 더하면 되지만, 110100110 과 같이 1이 많아지는 경우에는 앞에서부터 탐색해 1을 만날 때 마다 1 ~ 2 ^ n 까지의 1의 개수 + (n자리 2진수의 개수 * 선행한 1의 개수) 까지의 2진수의 개수` 를 더하면 된다.

문제가 원하는게 0 ~ n 까지가 아니라 a ~ b까지기 때문에 `0 ~ a 까지의 1의 개수`, `0 ~ b 까지의 1의 개수` 를 구해 차이를 구하면 된다.

같은 숫자일 경우를 대비해 0 ~ b 까지의 1의 개수 - 0 ~ a - 1 까지의 1의 개수 + a의 1의 개수 로 구했다.

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

typedef unsigned long long int ll;

ll arr[10000] = {0, };
int cnt = 1;

// 0 ~ t 까지의 1의 개수를 반환
ll f(ll t) {
    int ptLog = cnt, tmp = 0;
    ll pt = pow(2, ptLog - 1), ans = 0;

    while (pt) {
        if (t & pt) {
            ans += arr[ptLog - 1] + 1;
            ans += pt * tmp++;
        }
        pt >>= 1;
        ptLog--;
    }

    return ans;
}

int main() {
    ll a, b, tmp = 1; cin >> a >> b;

    // b까지 arr 배열 누적합 연산
    while (b > tmp) {
        arr[cnt] = (arr[cnt - 1] * 2) + tmp;
        tmp *= 2; cnt++;
    }

    ll ZeroToAVal = f(a); // 0 ~ a - 1 까지의 1의 개수
    ll bVal = f(b);       // 0 ~ b 까지의 1의 개수
    ll aVal = 0;          // a 의 1의 개수
    
    ll pt = pow(2, cnt);
    while (pt) {
        if (a & pt) aVal++;
        pt >>= 1;
    }

    printf("%lld\n", bVal - ZeroToAVal + aVal);
}

📚 새롭게 알게된 내용

역시 수학 문제 재밌네요 ㅎㅎ

[InSange]

누적합과 dp 형식으로 이전 것을 저장해나가는 식으로 한번 해보았지만 메모리 초과.. 10^16을 담기에는 역부족이군요.. 다시 한번 풀어봐야 겠습니다. 수학은 역시 어려워

[seongwon030]

저도 수학을 참 좋아하는데요. 수학문제를 풀 때는 펜을 먼저 들어야 하더라고요. 적어놓고 여러번 봐야 보인다고 해야하나.. 누적합긴 하지만 2진수에서 1이 나오는 패턴을 찾지 못하면 저장할 수 없는 문제군요. 이런 문제에선 패턴을 알아내는게 급선무인 것 같습니다. 풀이 잘 보고 갑니다 !