Um algoritmo é basicamente uma série de ações que devem ser tomadas para resolver um problema.
Na Matemática um algoritmo é uma sequência finita de regras, raciocínios ou operações que, aplicada a um número finito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas. Podemos ver isso sendo aplicado nas fórmulas matemáticas, pro exemplo.
Na Informática a definição é semelhante, é um conjunto de regras e procedimentos lógicos perfeitamente definidos que levam à solução de um problema em um número finitos de etapas.
Uma receita culinária é um exemplo claro de algoritmo. Ali temos os ingredientes necessários (dados de entrada), o modo de preparo com passo a passo (processamento ou instruções lógicas) e atinge um resultado (finalização do prato). Ou seja, um algoritmo conta com dados de entrada (input) e saída (output) de informações mediadas pelas instruções (lógicas) que foram seguidas.
Quando falamos de programação, ter noções (quiçá domínio) de algoritmos e raciocínio lógico é essencial, pois são habilidades que devem anteceder o domínio de uma linguagem de programação. É muito comum programadores começarem estudando pseudocódigos antes de realmente adentrarem ou linguagem de programação. Escrever um pseudocódigo te permite montar todo um algoritmo com base em suas entradas, instruções lógicas e saída, e ainda ter isso escrito no seu idioma nativo, por exemplo. É essa proposta que ferramentas como o Portugol Studio e VisuAlg trazem.