From 00f7a735a81ef4779b31da23a55fff45fab77f87 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Erik Rehulka Date: Tue, 14 Jan 2025 13:26:11 +0100 Subject: [PATCH] Block designs and latin squares fixed errors --- block_designs.tex | 2 +- latin_squares.tex | 8 ++++---- 2 files changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/block_designs.tex b/block_designs.tex index 3b5e64e..314dc20 100644 --- a/block_designs.tex +++ b/block_designs.tex @@ -114,7 +114,7 @@ \section{Symetrické blokové plány} \item $A A^T = A^T A$. \label{itemF} \\ Túto vlastnosť dokážeme priamo pomocou ekvivalentných úprav a vlastností, ktoré sme už dokázali. \begin{equation*} - A A^T = A^{-1} A A^T A \overset{\ref{itemB}}{=} A^{-1} (\lambda J + (k - \lambda) I) A = \lambda A^{-1} J A + (k - \lambda) A^{-1} I A = + A^T A = A^{-1} A A^T A \overset{\ref{itemB}}{=} A^{-1} (\lambda J + (k - \lambda) I) A = \lambda A^{-1} J A + (k - \lambda) A^{-1} I A = \end{equation*} \begin{equation*} \lambda A^{-1} J A + (k - \lambda) I \overset{\ref{itemE}}{=} \lambda A^{-1} k J + (k - \lambda) I \overset{\ref{itemA}}{=} \lambda A^{-1} A J + (k - \lambda) I = \lambda J + (k - \lambda) I = A A^T diff --git a/latin_squares.tex b/latin_squares.tex index 6b01ba9..5f60f73 100644 --- a/latin_squares.tex +++ b/latin_squares.tex @@ -92,7 +92,7 @@ \section{Definícia, základné vlastnosti} $$B := \set{y | y \in \set{1, \ldots, n} \wedge \phi(\lambda(y)) \neq \psi(\lambda(y))}$$ (t.j. $\dist(\phi\lambda, \psi\lambda) = |B|$ z definície vzdialenosti \ref{def:permdist}). -Najprv ukážeme, že platí $|A| \geq |B|$, následne $|B| \geq |A|$. +Najprv ukážeme, že platí $|A| \leq |B|$, následne $|B| \leq |A|$. Z toho už platnosť prvého tvrdenia z vety bude očividná. Nech $x \in A$. @@ -194,14 +194,14 @@ \section{Definícia, základné vlastnosti} Nech $G = (A \cup B, E)$, kde $E \subseteq A \times B$, je konečný bipartitný graf s partíciami $A$ a $B$. Nech $N_G(W)$ je okolie množiny vrcholov $W \subseteq A$. Formálne, $N_G(W) := \set{y \in B| \exists x \in W: (x, y) \in E} $ -Potom graf $G$ má úplné párenie práve vtedy keď $$\forall W \subseteq A: |N_G(W)| \geq |W|.$$ +Potom graf $G$ má párenie pokrývajúce množinu $A$ práve vtedy keď $$\forall W \subseteq A: |N_G(W)| \geq |W|.$$ Neformálne povedané, ak každá podmnožina vrcholov z $A$ má dostatočný počet kandidátov na spárovanie. \end{lemma} Dôkaz tejto lemy môžete nájsť v knihe \emph{Graph Theory} (Diestel, 2000)\footnote{alebo na Wikipédii: \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Hall\%27s_marriage_theorem}{https://en.wikipedia.org/wiki/Hall's\_marriage\_theorem}}. \begin{theorem}{(Hallova veta pre množiny)} Nech $\mathcal{X}$ je systém podmnožín množiny $X$. - Ak $\forall \mathcal{Y} = \set{Y_1, \ldots, Y_m} \subseteq \mathcal{X}: |\bigcup_{Y \in \mathcal{Y}} Y| > m$ tak pre + Ak $\forall \mathcal{Y} = \set{Y_1, \ldots, Y_m} \subseteq \mathcal{X}: |\bigcup_{Y \in \mathcal{Y}} Y| \geq m$ tak pre $\mathcal{X}$ existuje systém rozličných reprezentantov. \end{theorem} \begin{proof} @@ -465,7 +465,7 @@ \section{Ortogonálne latinské štvorce} Ak $i \neq k$, tak $a_i - a_k \neq 0$, čiže $a_{k_1} = a_{k_2} \Longrightarrow k_1 = k_2$, čo je spor. -Ak $j \neq l$, tak $a_l - a_j \neq 0$, čiže $(a_i - a_k) a_{k_1} \neq 0 \Longrightarrow a_i \neq a_j \Longrightarrow a_{k_1} = a_{k_2} \Longrightarrow k_1 = k_2$, čo je spor. +Ak $j \neq l$, tak $a_l - a_j \neq 0$, čiže $(a_i - a_k) a_{k_1} \neq 0 \Longrightarrow a_i \neq a_k \Longrightarrow a_{k_1} = a_{k_2} \Longrightarrow k_1 = k_2$, čo je spor. Týmto je dôkaz správnosti konštrukcie ukončený.