513-Die-lm-Funktion.qmd

# Die `lm()` Funktion

Die `lm()` Funktion der Base R Distribution erlaubt es, die in diesem Abschnitt
behandelten Modelle zu formulieren, zu schätzen und zu evaluieren. Die Funktion
wird dabei üblicherweise in der Form `alm = lm(formula, data)` aufgerufen und formuliert
und schätzt dann automatisiert dass durch den Ausdruck `formula` spezifierte Modell
anhand der in dem Dataframe `data` gespeicherten Daten. Die Analyseresultate können dann
auf verschiedene Art und Weisen aus dem Objekt `alm` ausgelesen werden, z.B. mithilfe
der `print()` und `summary()` Funktionen. Um uns mit der Arbeit mit `lm()` vetraut
zu machen, wollen wir in @sec-modellformulierung zunächst klären, wie die in 
diesem Abschnitt betrachteten Anwendungsbeispiele mithilfe der `formula` und `data`
Ausdrücke formuliert werden können. In @sec-modellschätzung betrachten wir dann
die Optionen zur Parameterschätzung in `lm()` und in in @sec-modellevaluation betrachten
wir die Evaluation von Konfidenzintervallen und T- und F-Tests basierend auf einem
durch `lm()` geschätzten Objekts.

## Modellformulierung {#sec-modellformulierung}

Grundlage der Formulierung eines Modells der Form
\begin{equation}
y = X\beta + \varepsilon \mbox{ mit } \varepsilon \sim N(0_n,\sigma^2I_n)
\end{equation}
mithilfe der Funktion `lm()` ist die Spezifikation einer **R** `formula` der Form

```{r, eval = F, error = F}
Daten ~ Term 1 + Term 2 + ... + Term k
```

In dieser Syntax trennt der `~` Operator die linke Seite `Daten`, die zur Identifikation
der abhängigen Variable $y$ genutzt wird von der rechten Seite `Term 1 + Term 2 + ... + Term k`,
die zur Spezifikation der Spalten der Designmatrix $X$ genutzt wird. 


Nach erfolgreicher Modellformulierung kann die Designmatrix des formulierten Modells
mithilfe der `model.matrix()` Funktion dargestellt werden. 

## Modellschätzung {#sec-modellschätzung}

## Modellevaluation {#sec-modellevaluation}

## Anwendungsbeispiele {#sec-anwendungsbeispiele}

### Einfache lineare Regression {-}

Wir betrachten den Beispieldatensatz zum Zusammenhang von Psychotherapiedauer 
und Symptomreduktion aus @sec-regression. Folgender **R** Code demonstriert
seine Analyse mithilfe der `lm()` Funktion.

\tiny
```{r}       
D               = read.csv("_data/501-regression.csv")                  # Einlesen des Datensatzes
data            = data.frame(y = D$y_i, x1 = D$x_i)                     # Datenspezifikation für lm()
formula         = y ~ 1 + x1                                            # Modell der einfachen linearen Regression
alm             = lm(formula, data)                                     # Modellformulierung und Modellschätzung
sum             = summary(alm)                                          # Auslesen wesentlicher Modellbestandteile   
X               = model.matrix(alm)                                     # Designmatrix
n               = nrow(X)                                               # Anzahl Datenpunkte
p               = ncol(X)                                               # Anzahl Betaparameter  
beta_hat        = coef(alm)                                             # Betaparameterschätzer    
sigsqr_hat      = sum$sigma**2                                          # Varianzparameterschätzer
cov_beta_hat    = vcov(alm)                                             # geschätzte Betaparameterkovarianzmatrix  
ci_beta_hat     = confint(alm)                                          # 95%-Konfidenzintervall für beta  
```
\normalsize

Die Designmatrix $X \in \mathbb{R}^{n \times 2}$ (`X`) hat die Form

\footnotesize
```{r, echo = F}
print(X)
```
\normalsize

Der Betaparameterschätzer (`beta_hat`) ergibt sich zu

\footnotesize
```{r, echo = F}
print(beta_hat,3)
```
\normalsize

und der Varianzparameterschätzer (`sigsqr_hat`) ergibt sich zu

\footnotesize
```{r, echo = F}
print(sigsqr_hat,3)
```
\normalsize

Die geschätzte Kovarianzmatrix des Betaparameters (`cov_beta_hat`) ergibt sich zu

\footnotesize
```{r, echo = F}
print(cov_beta_hat,3)
```

\normalsize
Damit ergeben sich die Konfidenzintervalle der Betaparameterkomponenten mithilfe von 

\tiny
```{r}
delta       = 0.95                                                              # Konfidenzlevel 
t_delta     = qt((1 + delta)/2, n - p)                                          # t-Konfidenzwert
beta_0_cil  = beta_hat[1]-sqrt(cov_beta_hat[1,1])*t_delta                       # untere KI Grenze
beta_0_ciu  = beta_hat[1]+sqrt(cov_beta_hat[1,1])*t_delta                       # obere  KI Grenze
beta_1_cil  = beta_hat[2]-sqrt(cov_beta_hat[2,2])*t_delta                       # untere KI Grenze    
beta_1_ciu  = beta_hat[2]+sqrt(cov_beta_hat[2,2])*t_delta                       # obere  KI Grenze    
```
\normalsize
zu
\footnotesize
```{r, echo = F}
cat("95%-Konfidentintervall für beta_0 : [", round(beta_0_cil,3), "," , round(beta_0_ciu,3), "]", 
    "\n95%-Konfidenzintervall für beta_1 : [ ", round(beta_1_cil,3), ", " , round(beta_1_ciu,3), "]")
```
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wie sich auch durch Ausgabe von `ci_beta_hat`
\footnotesize
```{r, echo = F}
print(ci_beta_hat,4)
```
\normalsize
bestätigen lässt.


### T-Tests {-}

### Einfaktorielle Varianzanalyse {-}

### Zweifaktorielle Varianzanalyse {-}

### Multiple Regression {-}

### Kovarianzanalyse {-}




## Literaturhinweise

Die Konventionen zur Spezifikation von linearen Modellen mithilfe der symbolischen
`formula` Darstellungen gehen auf @wilkinson1973 zurück. @chambers1992 geben eine
ausführliche Einführung in die Syntax von `lm()`. @galecki2013 und @fox2019 
geben exzellente Einführungen in die Arbeit mit `lm()`.

## Selbstkontrollfragen