teorija0.md

0. Ponovitev snovi iz srednje sole

1. Opisna statistika

1. Vrste slucajnih spremelnjivk, primeri

   • Slucajna spremenljivka X je kolicina, katere vrednosti so rezultat slucajnega poskusa
   • numericne:
     • diskretne: met kovanca, met kocke, streljanje na tarco
     • zvezne: verjetnost da je cas prihoda dveh zaporednih vlakov pod 3min
   • kategoricne: (imajo kategorije za vrednosti)
     • nominalne (imenske): kategorije brez vrstenga reda / urejenosti
       • spol: 0 = moski, 1 = zenski
       • barva las: 1 = crna, 2 = rjava, 3 = rdeca, 4 = blond, 5 = bela
     • ordinalne (urejenostne): kategorije z vrstnim redom / urejenostjo
       • stopnja bolecine: 0 = ni, 1 = blaga, 2 = srednja, 3 = mocna
       • stopnja izobrazbe: 1 = brez, 2 = osnovna sola, 3 = srednja sola, 4 = fakulteta

2. Frekvenca porazdelitev

   • tabela skupin vrednosti (razredov) in njihovih frekvenc v podatkih

   • obstaja min, max, spodnja, zgornja meja, sirina, sredina rezreda, komulativna frekvenca, relativna frekvence

     • primer zabelezili smo krvno skupino nakljucnega vzorca 100 slovencev.

     Krvna Skupina	0	A	B	AB
     frekvenca f	38	40	15	7

3. Graficni prikaz podatkov

   • Histogram

     • podatke razdelimo v razrede (intervale) in prestejemo stevilo podatkov v vsakem razredu
     • z $n$ podatkov je potrebno stevilo razredov: $\lceil \log_2(n) \rceil + 1$
     • dolzina razreda: $h = \frac{max-min}{k}$
     • npr. imamo 45 podatkov o tezi (n=45)
       • minimalna teza = 52.3kg, maksimalna = 86kg
       • potrebujemo $k=\lceil \log_2(45)\rceil+1=7$ rezredov
       • dolzina razreda: $h=\frac{max-min}{k}=\frac{86-52.3}{7}=4.8 \approx 5$

       

   • tortni diagram

     • vsakemu razredu priredimo krozni odsek
     • kot $\alpha_i= \frac{f_i}{n} \cdot 360\text{degrees}$

     

   • Skatla z brki

     • Mediana navpicna crta v skatli
     • Meje skatle $Q_1$ in $Q_3$
     • Dolzina skatle IQR=$Q_3-Q_1$
     • Spodnja meja = $Q_1 - 1.5\cdot IQR$
     • Zgornja meja = $Q_1 + 1.5 \cdot IQR$
     • Podatki ki so mansi od spodnje ali vecje od zgornje meje se imenujejo osamelci

       

   • Primeri razlicnih tipov histrogramov in skatel z brkami

     

4. Grafi in opisna statistika glede na vrsto slucajne spremenljivke

   • Kategoricne spremenljivke

   Podatki	Opisna Statistika	Grafi
   Nominalni	Modus	Stolpicni diagram
   Ordianlni	Modus, mediana, kvartili	Stolpicni diagram

   • Numericne spremenlijvke

   Podatki	Opisna Statistika	Grafi
   Diskretni	povprecje, standardni odklon, povzetek s petimi stevili	Malo stevilo vrednosti: stolpicni diagram, Vecje stevilo vrednosti: histogram, skatla z brki
   Zvezni	povprecje, standardni odklon, povzetek s petimi stevili	Histogram, skatla z brki

5. Vzorcne statistike

• ordinalne slucajne spremenljivke
  • Lahko jim izracunamo modus, vzorcno mediano in vzorcne kvartile
    • Podatke razvrstimo po vrsti $Y_1 \leq Y_2 \leq \dots \leq Y_n$
      • npr stopnje bolecine: $0,0,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3$
    • Modus (najpogostejsa vrednost) = 2
    • Mediana (drugi kvartil $Q_2$) predstavlja srednji podatek = 2
    • Prvi kvartil $Q_1$ je mediana prve polovice sortiranih podatkov = 1
    • Tretji kvartil $Q_3$ je mediana druge polovice sortiranih podatkov = 2
• zvezne slucajne spremenljivke:
  • Vzorcno povprecje: $\overline{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$
  • Popravljeni vzorcni standardni odklon $s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$
  • povzetek s petimi stevili: minimum, maksimum, mediana, prvi in tretji kvartil
• diskretne slucajne spremenljivke:
  • enako kot zvezne (vzorcno povprecje, vzorcni standardni odklon, povzetek s petimi stevili)

2. Kombinatorika in prestevanje

• Pojasni pravili za vsoto in produkt, ki ju uporabljamo pri stetju
  • vsota:
    • Kadar se pri izbiranju odlocamo za eno od $n_1$ moznosti iz prve mnozice ali za eno od $n_2$ moznosti iz druge, .... ali za eno od $n_k$ moznosti iz tretje in so te mnozice paroma disjkunktne, potem je stevilo vseh moznih izidov $$\sum\limits_{i=1}^k n_i=n_1+n_2+n_3+\dots n_k$$
    • Primer: Iz Ajdove gore do Brezic vodi 5 poti, iz Brezic do Cvetocoega dola pa 4. Na koliko nacinov lahko pridemo z Ajdove gore do Cvetocega dola, ce imamo med njima se 3 direktne poti? $5\cdot 4 + 3 = 23$
  • produkt
    • Izbiranje poteka v k korakih, na vsakem koraku imamo $n_i$ moznosti.
    • Vseh moznosti: $\prod\limits_{i=1}^{k} n_i = n_1 \cdot n_2\cdot n_3 \cdots n_k$
    • Primer: Koliko je vseh tri-mestnih stevil: $9\cdot 10 \cdot 10$
• Definiraj permutacije (in omeni kaksen primer)
  • vrstni red je pomemben
  • brez ponavljanja
    • So vse mozne razporeditve n razlicnih elementov na n prostih mest
    • $n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1$
    • Primer: Imamo 5 mest in 5 stevil {1,2,3,4,5}, koliko razlicnih stevil lahko sestavimo ce moremo vsako stevko uporabiti natanko enkrat?
  • s ponavljanjem
    • razporeditve $n$ ne nujno razlicnih elementov
    • Elemente razdelimo v skupine enakih
    • Ce je teh skupin m, in ima vsaka skupin $k_i$ elementov $$\begin{pmatrix} n \ k_1, k_2,\dots k_m\end{pmatrix} = \frac{n!}{k_1!\cdots k_m!}$$
    • Primer: Na koliko nacinov lahko razporedimo na polici 3 romane, 4 ucbenike in 2 vodica, ce knjig iste vrste ne razlikujemo? $$\begin{pmatrix} 9 \ 3,4,2 \end{pmatrix} = \frac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2!}=1260$$
• Definiraj variacije (in omeni kaksen primer)
  • Vrstni red je pomemben
  • brez ponavaljanja
    • Razporeditev $n$ razlicnih elementov na $k$ prostih mest vsak element najvec enkrat nastopi $$\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)$$
    • Primer: Imamo 3 mesta ter 5 stevil $\left{1,2,3,4,5\right}$. Koliko razlicnih stevil lahko sestavimo ce lahko vsako stevko uporabimo najvec enkrat? $$5\cdot 4\cdot 3$$
  • s ponavaljanjem
    • Razporeditve $n$ razlicnih elementov na $k$ mest vsak element uporabimo poljubno krat
    • $n^k= n \cdot n \cdots n$
    • Primer: Na koliko nacinov lahko izberemo 3 izmed 5ih kroglic ce kroglice vracamo ter upostevamo vrstni red? $$5\cdot 5 \cdot 5$$
• Definiraj kombinacije (in omeni kaksen primer)
  • vrstni red ni pomemben
  • brez ponavljanja
    • So izbire k elementov izmed n razlicnih elementov (vsak element lahko izberemo najvec enkrat) $$\begin{pmatrix}n \ k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
    • Imamo 4 razlicne kroglice. Na koliko razlicnih nacinov lahko izberemo 2. $$\begin{pmatrix}4 \ 2\end{pmatrix}= \frac{4\cdot 3\cdot 2!}{2! \cdot (4-2)!}=\frac{12}{2}=6$$
  • s ponavljanjem
    • So izbire k elementov izmed n razlicnih elementov (vsak element lahko izberemo veckrat)
    • Loterija: zreb 7 stevil izmed 39 kroglic, ki se po vsakem krogu vracajo v boben.
    • Z crticami oznacimo 39 predalckov, vsakic ko vlecemo neko kroglico jo dodamo v pripadajoc predalcek (predalcek 1 = stevilka 1, predalcek 2 = stevilka 2, ...)

      

    • S takim nizom lahko predstavimo vse mozne kombinacije (niz crtic in kroglic)
      • presteti moramo vse nize take oblike k=7 krogcev, n+1=40 crtic $\rightarrow$ prve in zadnje se znebimo ker sta fiksni $\rightarrow$ dobimo 38 crtic (n-1))
      • torej izmed k+n-1 moznih mest moramo izbrati k mest kamor narisemo krogec ali pa izmed k+n-1 mest izbremo n-1 mest kamor narisemo crtico
      • Torej dobimo $\begin{pmatrix} k+n-1 \ k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7+38 \ 7\end{pmatrix}$
    • $\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}n \ k\end{pmatrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k+n-1 \ k\end{pmatrix}$
• Iz zgornje definicije izpelji posebna primera: permutacije, kombinacije
  • kombinacije: variacije brez vrstnega reda
    • pri variacijah se znebimo ponovitev tako da v imenovalec dodamo r!
  • permutacije: so variacije kjer je (st mest) k = n
    • dobimo $\frac{n!}{(n-n)!}=n!$
• Podaj binomski obrazec in definiraj Pascalov trikotnik
  • $(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k$
  • Pravilo pascalovega trikotnika $\begin{pmatrix}n \ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n \ m+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n+1 \ m+1 \end{pmatrix}$

    

• Z limito vpelji stevilo e = 2.71 ki predstavlja osnovo za naravni logaritem
  • $e=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n$
  • Razpisemo $(1+\frac{1}{n})^n= 1 + \begin{pmatrix}n \ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{n} + \begin{pmatrix}n \ 2 \end{pmatrix} \frac{1}{n^2} + \cdots \begin{pmatrix} n \ n \end{pmatrix} \frac{1}{n^n}$
  • Vsota celotnega torej: $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots + \frac{1}{n!}=e$
    • Taylorjeva vrsta za $e^x= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
• Podaj primer, kjer pridemo do tega stevila v kombinatoriki
  • poissonova porazdelitev
    • dobimo jo kot limitni primer binomske porazdelitve (binomski obrazec)
      • $p_k= \frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}$

3. Racunanje z dogodki

• Definiraj prostor dogodkov (tudi nemogoc, gotov in nasproten)
  • $\Omega \equiv$ verjetnostni prostor $\equiv$ mnozica vseh izidov
  • Dogodek A $\subseteq \Omega$ (mnozica)
  • Gotov dogodek: $A\cap \Omega = \Omega$
    • $P(A)=P(\Omega)=1$
    • dogodek ki se zgodi ob vsakem poskusu
  • Nemogoc dogodek: $A\cap \Omega=\emptyset$,
    • $P(A)=P(\emptyset)$ = 0
    • dogodek ki se ne zgodi ob nobenem poskusu
  • Nasproten dogodek: $A^C$,
    • $A^C\cap A=\emptyset$, $P(A^C)=1-P(A)$ (komplementarna mnozica)
    • v vsakem poskusu se zgodi ali $A$ ali $A^C$
• Definiraj vsoto dveh dogodkov
  • Vsota dogodkov je predstavljena z unijo $A+B=A\cup B$
  • ali se zgodi en ali se zgodi drug
    • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Definiraj Produkt dveh dogodkov
  • $AB=A\cap B$
  • Produkt dveh dogodkov je verjetnost da se zgodita oba dogodka hkrati (presek)
    • $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$
• Nastej lastnosti za vsoto dveh dogodkov
  • $P(A\cup B)= P(B\cup A)$
  • $P(A\cup A)= P(A)$
  • $P(A\cup \Omega)=P(\Omega)$
  • $P(A\cup \emptyset)=P(A)$
• Nastej lastnosti za produkt dveh dogodkov
  • $P(AB)=P(BA)$
  • $P(AA)=P(A)$
  • $P(A\Omega)=P(A)$
  • $P(A\emptyset)=\emptyset$
• Podaj pravilo o vkljucitvi/izkljucitvi
  • $P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i)= \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)- \sum\limits_{1\leq i <j \leq n}P(A_i\cap A_j)+\sum\limits_{1\leq i < j < k\leq n}P(A_i\cap A_j \cap A_k)- \cdots +(-1)^{n-1}P(A_1\cap\cdots \cap A_n)$
    • $P(A\cup B)= P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
    • $P(A\cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B \cap C)$

4. Popoln sistem dogodkov in definicije vrjetnosti

• Podaj najmanjsi popoln sistem dogodkov

  • $\Omega$ (samo 1 gotov dogodek)

• Kdaj je mnozica dogodkov popoln sistem

  • mnozica dogodkov $H_1, H_2 \dots, H_n$, kjer velja:
    • $\bigcup\limits_{i=1}^n H_i = \Omega$
    • $\bigcap\limits_{1\leq i < j \leq n} H_i \cap H_j =\emptyset$

• Statisticna definicja verjetnosti

  • Verjetnost dogodka A v danem poskusu je stevilo P(A) h kateremu konvergira relativna frekvenca dogodka A v velikem stevilu ponovitev poskusa
    • relativna: $f(A) = \frac{k}{n}$, k stevilo ugodnih, n stevilo poskusov

• Klasicna definicija verjetnosti (izpeljava)

  • $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\text{st. izidov v A}}{\text{st. vseh izidov}}$

• Geometricna definicija vrjetnosti

  • $P(A)=\frac{\text{mera (A)}}{\text{mera }(\Omega)}$, mera je dolzina, ploscina, volumen, ...

• Podaj zvezo med verjetnostmi dveh dogodkov ter njunima vsoto in produktom (in jo utemelji bodisi s statisticno ali geometrijsko definicjo verjetnosti)

  • $P(A\cap B)= P(A) + P(B) - P(A\cup B)$

  • $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

    

5. Pogojna verjetnost

• Primer

  • Vrzemo dve kocki
  • $A\equiv$ na prvi kocki pade 6 pik
  • $B\equiv$ skupaj pade 10pik
  • $P(A\mid B)$ koliksna je verjetnost da je na prvi kocki padlo 6 pik ce vemo da je bila vsota na obeh kockah 10

• Definiraj pogojno verjetnost (s kompleksom pogojev)

  • $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
  • Ce sta dogodka neodvisna $\rightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)$
    • $P(A\mid B) = P(A)$

• Podaj formulo, ki poveze obicajno in pogojno verjetnost

  • $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$
  • $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$
    • $P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A \mid B)$

• Zakaj je pomembna graficna predstavitev z drevesom

  

  • TODO

• Izpelji formulo za racunanje pogojne verjetnosti (z uporabo statisticne definicije verjetnosti in/ali geometrijske definicije verjetnosti)

  • TODO

6. Dvofazni poskusi

• definicija popolnega sistema dogodkov
  • zgoraj
• formula za pogojno verjetnost
  • zgoraj
• primer

Redko nalezljivo bolezen dobi ena oseba na 1000. Imamo dober a nepopolen test za to bolezen: ce ima neka oseba to bolezen potem test potrdi to v 99% primerih
Test napacno pokaze 2% negativnih pacientov kot bolanih.

• dogodek A: pacient je dobil nalezjlivo bolezen

• dogodek B: pacientov test je bil pozitiven

• $P(A)=0.001$

• $P(B|A)=0.99$

• $P(B|\overline{A})=0.02$ (dogodek "napacno pooizitven")
  Zanima nas $P(A|B)$, verjetnost da smo se nalezli ce je test pozitiven? $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{A\cap B}{P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(A)}$$

• drevesna struktura

  

• nepopolna formula

  • TODO

• formula za popolno verjetnost

  1. $A=(A_1\cap H_1) \cup (A_1\cap H_2) \cup \dots \cup (A_1 \cap H_n)$
  2. $P(A)= P(A \cap H_1) + \dots + P(A\cap H_n)$
     • uporabimo: $P(A \mid H_i) = \frac{P(A\cap H_i)}{P(H_i)} \rightarrow P(A\cap H_i)= P(A\mid H_i)\cdot P(H_i)$
  3. $P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+\dots P(A|H_n)P(H_n)=\sum\limits_{i=1}^nP(A|H_i)P(H_i)$

• Bayesov obrazec

  • za popoln sistem dogodkov $H_i$
  • $P(H_i\mid A)=\frac{P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)}{P(A)}=\frac{P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)}{\sum\limits_{k=1}^nP(H_k)\cdot P(A\mid H_k)}$

• Dokaz za Beysov obrazec in formulo za popolno verjetnost

  • zgornja izpeljava samo po definiciji (mnozic)

7. Bernullijevo zaporedje neodvisnih poskusov

• primeri
  • verjetnosti izidov v enem poskusu neodvisne od tega kar se je zgodilo v drugih poskusih
  • V vsakem poskusu se lahko zgodi dogodek $A$ ali pa $\overline{A}$
  • mecemo kovanec:
  • $P(A)= 0.5$ (pade cifra)
  • $P(\overline{A})=0.5$ (pade grb)
• vecfazni poskusi
• kombinacije
• drevesna predstavitev

  

• nepopolna formula
• formula za racunanje verjetnosti (binomska porazdelitev)
  • verjetnost da se dogodek A zgodi k krat v n zaporednih poskusih: $$P_n(k)=\begin{pmatrix}n \ k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k}$$
• racunanje verjetnosti in/ali Laplacoev tockovni obrazec
• zveza med binomsko in normalno porazdelitvijo i/ali Poissonovo porazdelitvijo
• Dokazovanje pricakovane vrednosti z indikatorji

8. Sredine

• aritemticna sredina (k=1)
  • $$A_n = \frac{a_1+\cdots + a_n}{n}$$
• geometrijska sredina (k=0)
  • $$G_n=\sqrt[n]{a_1 \cdot ... \cdot a_n}$$
• kvadratna sredina (k=2)
  • $$K_n=\sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}$$
• harmonoicna sredina (k=-1)
  • $$H_n=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots + \frac{1}{a_n}}$$
• potencna sredina stopnje k
  • $$P_{n,k}=\sqrt[k]{\frac{a_1^k+\cdots +a_n^k}{n}}$$
• neenakosti med njimi
  • Sredine dveh stevil $$H_2\leq G_2 \leq A_2 \leq K_2$$
• dokaz $A_2 \geq G_2$ (in karakterizacija enakosti)
  • $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
  • $\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \geq ab$
  • $a^2+b^2 - 2ab \geq 0$
  • $(a-b)^2 \geq 0$
• dokaz $K_2\geq A_2$ (in karakterizacija enakosti)
  • $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$
  • $\frac{a^2+b^2}{2} \geq \frac{a^2+b^2+2ab}{4}$
  • $\frac{a^2+b^2-2ab}{4} \geq 0$
  • $\frac{(a-b)^2}{4} \geq 0$
• dokaz brez besed