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@@ -7,7 +7,7 @@ \chapter{Centralità}
 \section{Misure di centralità geometriche}
 Chiamiamo \textit{geometriche} quelle misure che vedono la centralità come dipendente dalla distanza di un nodo o un arco dagli altri elementi del grafo. Più precisamente, una centralità geometrica dipende unicamente da quanti nodi esistono a ogni distanza. Queste sono alcune delle misure più antiche definite in letteratura.
 \subsection{Indegree}
-L'indegree è il numero di archi che entrano in un determinato nodo, è denotato come $d_+{(x)}$ e può essere considerata una misura di centralità geometrica. Si tratta semplicemente del numero di nodi a distanza 1\footnote{La maggioranza delle misure di centralità proposte in letteratura sono state descritte solo per grafi non direzionati e connessi. Siccome lo studio del grafo del web e delle reti sociali elettronicamente mediate ha posto il problema di estendere i concetti di centralità a reti che sono direzionate, e possibilmente non fortemente connesse, nel resto di questo articolo considereremo le misure dipendenti dal numero di archi entranti di un nodo (e. g. percorsi entranti, autovettori dominanti sinistri, distanze da tutti i nodi verso un nodo specifico). Se necessario, queste misure possono essere chiamate "positive", in opposizione alle misure "negative" ottenute considerando percorsi uscenti, o (equivalentemente trasponendo il grafo)}. L'indegree è probabilmente una delle più vecchie misure di centralità, in quanto è equivalente alla maggioranza dei votanti alle elezioni ($x \rightarrow y$ se $x$ ha votato per $y$), il vincitore delle elezioni è quello che ha preso più voti, quindi quello che ha l'indegree più alto.
+L'indegree è il numero di archi che entrano in un determinato nodo, è denotato come $d_-{(x)}$ e può essere considerata una misura di centralità geometrica. Si tratta semplicemente del numero di nodi a distanza 1\footnote{La maggioranza delle misure di centralità proposte in letteratura sono state descritte solo per grafi non direzionati e connessi. Siccome lo studio del grafo del web e delle reti sociali elettronicamente mediate ha posto il problema di estendere i concetti di centralità a reti che sono direzionate, e possibilmente non fortemente connesse, nel resto di questo articolo considereremo le misure dipendenti dal numero di archi entranti di un nodo (e. g. percorsi entranti, autovettori dominanti sinistri, distanze da tutti i nodi verso un nodo specifico). Se necessario, queste misure possono essere chiamate "positive", in opposizione alle misure "negative" ottenute considerando percorsi uscenti, o (equivalentemente trasponendo il grafo)}. L'indegree è probabilmente una delle più vecchie misure di centralità, in quanto è equivalente alla maggioranza dei votanti alle elezioni ($x \rightarrow y$ se $x$ ha votato per $y$), il vincitore delle elezioni è quello che ha preso più voti, quindi quello che ha l'indegree più alto.
 
 L'indegree ha una serie di problematiche evidenti (e.g. è facile da aggirare), ma è un buon punto di partenza, e in alcuni casi ha raggiunto risultati migliori di tecniche più sofisticate (si veda, ad esempio \cite{degree}).
 \subsection{Closeness}