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Las variables climatológicas (ej precipitación y temperatura) están agrupadas por mes y se presentan de la siguiente manera:
Temperatura
Precipitación (Precipitacion)
Mes (MES_NUM)
Año Epidemiológico (ANIO)
$c^1_1$
$c^2_1$
1
1
$c^1_2$
$c^2_2$
2
1
$c^1_3$
$c^2_3$
3
1
...
...
...
...
$c^1_{N_c}$
$c^2_{N_c}$
44
15
en general se asume que existen $M$ variables climatológicas distintas.
Modelo
Brevemente el modelo sigue la siguiente estructura:
$$\textrm{Dengue} = \textrm{Clima} + \textrm{Dengue semanas pasadas} + \textrm{Semana} + \textrm{Año}$$
Para ello se realiza primero un modelo de Clima y después los factores que se obtienen de dicho modelo se utilizan para el de Dengue.
Modelo de clima
Se asume que las variables de clima siguen el siguiente modelo:
$$c_j^{\textrm{std}} \sim \text{Normal}(\mu_j,\Sigma)$$
con $c_j^{\textrm{std}} = \Big( (c_j^1 - \bar{c}^1)/\text{sd}(c^1), (c_j^2 - \bar{c}^2)/\text{sd}(c^2),\dots, (c_j^{M} - \bar{c}^M)/\text{sd}(c^M) \Big)^T$ las variables de clima estandarizadas en el momento $j$.
La media $\mu_j = (\mu_j^1,\mu_j^2,\dots, \mu_j^M)^T$ al tiempo $j$ está dada por una dependencia anual y una mensual:
$$\mu_j^k = \beta_{\text{Año} (j)}^k + \beta_{\text{Mes} (j)}^k$$
para $k = 1,2\dots, M$.
Las variables de año y mes siguen estructuras jerárquicas:
$$\beta_{\text{Año} (j)}^k \sim \text{Normal}(\eta_{\text{Año}},\sigma^2_{\beta_\text{Año}}) \quad \text{y} \quad \beta_{\text{Mes} (j)}^k \sim \text{Normal}(\eta_{\text{Mes}},\sigma^2_{\beta_\text{Mes}})$$
donde los hiperparámetros siguen una estructura dinámica dependiendo del mes/año anterior:
$$\eta_{\text{Año}} \sim \text{Normal}(\eta_{\text{Año} - 1},\sigma^2_{\eta_\text{Año}}) \quad \text{y} \quad \eta_{\text{Mes}} \sim \text{Normal}(\eta_{\text{Mes} - 1},\sigma^2_{\eta_\text{Mes}}).$$
Por otro lado la variable $\Sigma = S\Omega S$ con $S$ una matriz diagonal dada por
$$S = \text{diag}(\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_M)$$
con
$$\tau_j \sim \text{HalfCauchy}(0,2.5) \text{ y } \Omega \sim \text{LKJCorr}(\eta).$$
Las varianzas siguen distribuciones Cauchy positivas:
$$\sigma^2_{\beta_\text{Año}} \sim \text{HalfCauchy}(0,2.5)$$
El modelo de dengue integra los factores mensuales del modelo de clima i.e. los $\beta_{\text{Mes} (j)}^k$ así como un componente autorregresivo (AR) de orden $R$ y componentes semanales y anuales. Si $g(d_{i})$ son los casos de dengue después de una transformación $g$ en el tiempo $i$ entonces
donde
$$\alpha^p_{\text{AR}} \sim \text{Normal}(0, \sigma^2_{AR}) \text{ y } \alpha^k_{\text{Clima}} \sim \text{Normal}(0, \sigma^2_{\text{Clima}})$$
con las a priori dadas por:
$$\sigma^2_{AR}\sim\text{HalfCauchy}(0, \sigma^2) \quad \text{y} \quad \sigma^2_{Clima}\sim\text{HalfCauchy}(0, \sigma^2).$$
Las variables anuales tienen una media compartida $$\alpha_{\text{Año}} \sim \text{Normal}(\theta_{\alpha_\text{Año}},\sigma^2_{\alpha_\text{Año}})$$
mientras que las semanales tienen una estructura dinámica dada por: $$\text{Normal}(\alpha_{\text{Semana} - 1},\sigma^2_{\alpha_\text{Semana}}).$$
donde $$\sigma^2_{\alpha_\text{Año}},\sigma^2_{\alpha_{\text{Semana}}}\sim\text{HalfCauchy}(0, \sigma^2) \text{ y }\sigma^2\sim\text{HalfCauchy}(0, 2.5).$$